二分图扩展概念

二分图扩展概念

最小顶点覆盖

在二分图中寻找一个尽量小的点集,使图中每一条边至少有一个点在该点集中。
最小顶点覆盖 = 最大匹配

证明(反证法)

假设当前存在一条两个端点都不在最小顶点覆盖点集中,那么这么光芒四射的边定可以增大最大匹配边集,与最大匹配矛盾,所以得证。

最小路径覆盖

在二分图中寻找一个尽量小的边集,使图中每一个点都是该边集中某条边的端点。
最小路径覆盖 == 顶点数 - 最大匹配

证明

因为一条边最多可以包含两个顶点,所以我们选边的时候让这样的边尽量多,也就是说最大匹配的边集数目咯。剩下的点就只能一个边连上一个点到集合里啦。

最大独立集

在N个点中选出来一个最大点集,使这个点集中的任意两点之间都没有边。
最大独立集 == 顶点数 - 最大匹配

证明

因为去掉最大匹配两端的顶点去掉以后,剩下的点肯定是独立集。我们再从每个匹配里面挑选出来一个点加入到独立集中,也是不会破坏原有独立集的独立性的。